`rtol` 和 `atol` 计算浮点数误差

rtol 和 atol 是数值计算中用于判断两个数是否“足够接近”的核心参数，分别代表相对容差（Relative Tolerance）和绝对容差（Absolute Tolerance）。

核心概念解释

在编程（尤其是科学计算，如 NumPy、SciPy、Pandas）中，直接用 == 判断浮点数是否相等是不可靠的（因为浮点数有精度误差），因此会用 rtol 和 atol 组合来定义“相等”的标准，判断逻辑如下：

两个数 a 和 b 被认为相等，当且仅当满足：
$$|a - b| \le \text{atol} + \text{rtol} \times |b|$$

1. atol（绝对容差）

• 定义：固定的绝对误差阈值，是一个常数（通常很小，如 1e-8）。
• 适用场景：当比较的数值接近 0 时，相对误差会失效（分母接近 0），此时主要靠 atol 来判断。
• 例子：若 atol=1e-8，则 0.0 和 1e-9 会被认为相等，因为 |0.0 - 1e-9| = 1e-9 ≤ 1e-8。

2. rtol（相对容差）

• 定义：相对误差阈值，是一个比例系数（通常在 1e-5 ~ 1e-7 之间）。
• 适用场景：当比较的数值远离 0 时，用相对误差更合理（误差随数值大小成比例）。
• 例子：若 rtol=1e-5，则 1000.0 和 1000.001 会被认为相等，因为 |1000 - 1000.001| = 0.001 ≤ 1e-5 × 1000 = 0.01。

代码示例（Python NumPy）

下面用 NumPy 的 np.allclose() 函数演示 rtol 和 atol 的实际使用：

import numpy as np

# 示例1：接近0的数值（依赖atol）
a = 0.0
b = 1e-9
# 默认：rtol=1e-05, atol=1e-08
print(np.allclose(a, b))  # 输出 True（1e-9 ≤ 1e-8 + 1e-5*0 → 满足）

# 示例2：远离0的数值（依赖rtol）
c = 1000.0
d = 1000.001
print(np.allclose(c, d))  # 输出 True（0.001 ≤ 1e-8 + 1e-5*1000 → 0.001 ≤ 0.01）

# 示例3：调整容差，改变判断结果
print(np.allclose(c, d, rtol=1e-7))  # 输出 False（0.001 > 1e-8 + 1e-7*1000 → 0.001 > 0.0001）

总结

1. rtol（相对容差）：按数值大小的比例判断误差，适用于非零大数的比较。
2. atol（绝对容差）：固定误差阈值，适用于接近 0 的小数比较。
3. 实际使用中，两者结合能覆盖所有浮点数比较场景，避免直接用 == 导致的精度问题。