在 Python 的 SciPy（特别是 solve_ivp）中，“积分器”其实指的是不同的 数值积分方法（Numerical Integrators），也就是用来近似求解微分方程的算法。
下面我来帮你系统地梳理清楚它们的区别。
🧩 一、什么是“积分器”？
对于常微分方程：
[
\frac{dy}{dt} = f(t, y)
]
积分器的任务是：从初始值 (y(t_0)) 出发，用离散的时间步 (h) 一步步推算出 (y(t_1), y(t_2), ...)，近似还原函数的连续演化。
不同的积分器在：
-
精度（accuracy）
-
稳定性（stability）
-
计算量（efficiency）
之间取了不同的平衡。
⚙️ 二、SciPy 中的主要积分器类型
在 scipy.integrate.solve_ivp 中，你可以用参数 method= 指定不同积分器：
| 积分器名 | 类型 | 阶数 | 适用问题 | 特点 |
|---|---|---|---|---|
| 'RK45' | Runge-Kutta (Dormand–Prince) | 5(4) 阶 | 一般非刚性 ODE | 默认，精度高，速度快 |
| 'RK23' | Runge-Kutta (Bogacki–Shampine) | 3(2) 阶 | 非刚性 ODE | 适合低精度快速估算 |
| 'Radau' | 隐式 Runge-Kutta | 5 阶 | 刚性 ODE | 高稳定性 |
| 'BDF' | 后向差分公式 (Backward Differentiation Formula) | 可变阶（1~5） | 刚性 ODE | 适合慢变化系统 |
| 'LSODA' | 自适应算法（FORTRAN 经典库） | 自动选择 | 混合类型 ODE | 自动判断刚性/非刚性切换 |
💡 举例对比
假设方程：
[
\frac{dy}{dt} = -1000y + 3000 - 2000 e^{-t}
]
这个方程非常“刚性”，
如果你用 'RK45'，可能需要极小步长才能稳定；
而 'BDF' 一下子就能稳定收敛。